富山大学
2014年 薬学部 第3問

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  4. 2014年 - 薬学部 - 第3問
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実数を成分とする2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})に対して，T(A)=a+d，\Delta(A)=ad-bcと定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})，O=(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})とする．(1)等式A^2-T(A)A+\Delta(A)E=Oが成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．(2)実数を成分とする2次の正方行列X,YがXY-YX=(\begin{array}{cc}0&1\1&0\end{array})を満たすとし，α=T(X)，β=\Delta(X)とおく．(i)X^2Y-YX^2をαを用いて表せ．(ii)(X^2Y-YX^2)^2=E，X^4+X^2+E=Oが成り立つとき，α,βの値を求めよ．
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