富山大学
2013年 薬学部 第3問

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  4. 2013年 - 薬学部 - 第3問
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実数を成分とする行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})は，A^3-3A+2E=O,A≠-2E　かつ　a+d≠2を満たすとする．ただし，Eは単位行列(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})，Oは零行列(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．(1)Aは単位行列Eの実数倍ではないことを示せ．(2)a+d,ad-bcの値を求めよ．(3)Aの逆行列をA^{-1}として，自然数nに対して，実数p_n,q_nを等式(A^{-1})^n=p_nA+q_nEで定める．さらに，r_n=q_n-2p_nとするとき，無限級数Σ_{n=1}^∞r_nの和を求めよ．
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