富山大学
2016年 医学部 第1問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第1問
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関数f(x),g(x)に対して，h(x)=∫_0^xf(x-t)g(t)dtで定義される関数h(x)を(f*g)(x)と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．(1)(f*g)(x)=(g*f)(x)が成り立つことを示せ．(2)g(x)=e^{-x}とし，関数f_1(x),f_2(x),・・・をf_1(x)=1-e^{-x},f_n(x)=(f_{n-1}*g)(x)(n=2,3,・・・)によって定義する．(i)整数nが2以上のとき，{f_n}´(x)をf_n(x),f_{n-1}(x)を用いて表せ．(ii)h_n(x)=e^x{f_n}´(x)(n=1,2,・・・)とおくとき，3以上の整数nに対して，{h_n}´(x)をh_{n-1}(x)を用いて表せ．(iii)h_n(x)を求めよ．
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