富山大学
2011年 医学部 第3問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第3問
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実数を成分とする行列A=(\begin{array}{rr}a&-b\\b&c\end{array})はA^2-A+E=Oをみたすとする．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列を表し，b＞0とする．このとき，次の問いに答えよ．(1)bとcを，それぞれaを用いて表せ．(2)2つのベクトルA(\begin{array}{c}1\\1\end{array})とA(\begin{array}{c}1\\-1\end{array})が垂直であるとき，行列Aを求めよ．(3)Aを(2)で求めた行列とする．1個のさいころをk+1回投げて，出た目を順にm_1,m_2,・・・,m_{k+1}とする．このときベクトルP_0,P_1,P_2,・・・,P_{k+2}を次のように定める．\begin{itemize}P_0=(\begin{array}{c}0\\0\end{array}),P_1=(\begin{array}{c}1\\0\end{array})P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1})(n=1,2,・・・,k+1)\end{itemize}さらに，ベクトルP_1,・・・,P_{k+1}がすべて異なりP_{k+2}=(\begin{array}{c}1\\0\end{array})となる確率をq_kとする．このとき，q_1,q_2,q_3を，それぞれ求めよ．
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