富山大学
2012年 医学部 第3問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第3問
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行列A=\biggl(\begin{array}{cc}0&x\\y&z\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}0&w\\w&0\end{array}\biggr)は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．\mon[(ア)]A^2+A+E=O\mon[(イ)]B^2=Eただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)である．(1)x,y,z,wがすべて整数でx＜ywを満たすとき，x,y,z,wを求めよ．(2)(1)で求めたx,y,z,wに対して，ベクトル\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)(n=0,1,2,・・・)を次のように定める．\begin{itemize}\biggl(\begin{array}{c}p_0\\q_0\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば\biggl(\begin{array}{c}p_{n+1}\\q_{n+1}\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)，裏が出れば\biggl(\begin{array}{c}p_{n+1}\\q_{n+1}\end{array}\biggr)=B\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)とする．\end{itemize}\mon[(a)]\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)は\biggl(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}-1\\0\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\biggr)のいずれかであることを示せ．\mon[(b)]\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\biggr)となる確率をX_n，\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}-1\\0\end{array}\biggr)となる確率をY_n，\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\biggr)となる確率をZ_nとするとき，X_{n+1},Y_{n+1},Z_{n+1}をそれぞれY_nを用いて表せ．また，X_nをnを用いて表せ．
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