豊橋技術科学大学工学部 2017年問題1

画像
HTML版

$xy平面上の座標(R,0)の点をQ_1とする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の規則で点Q_2,Q_3,・・・，点P_1,P_2,・・・を定める．原点Oを中心に点Q_nを反時計回りに角度θ（ラジアン）回転させた点をP_nとし，線分OP_nをα:(1-α)に内分する点をQ_{n+1}とする．ただし，R＞0，0＜α＜1とする．扇形OQ_nP_nの面積をS_nとし，円周率はπとする．以下の問いに答えよ．（プレビューでは図は省略します）(1)S_1をR,θを用いて表せ．(2)S_nをR,θ,n,αを用いて表せ．(3)W_n=S_1+S_2+・・・+S_nとおく．W_nをR,θ,n,αを用いて表せ．(4)数列{W_n}の極限値W=\lim_{n→∞}W_nをR,θ,αを用いて表せ．(5)弧Q_nP_nの長さをa_n，線分P_nQ_{n+1}の長さをb_nとし，無限級数Σ_{n=1}^{∞}(a_n+b_n)=a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+・・・+a_n+b_n+・・・の和をTとする．T=2Rかつ(4)で求めたWがW=2S_1となるαとθを求めよ．$