筑波大学
2013年 理系 第4問

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  4. 2013年 - 理系 - 第4問
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3つの数列{a_n},{b_n},{c_n}が\begin{array}{lll}a_{n+1}=-b_n-c_n&&(n=1,2,3,・・・)\b_{n+1}=-c_n-a_n&&(n=1,2,3,・・・)\c_{n+1}=-a_n-b_n&&(n=1,2,3,・・・)\end{array}およびa_1=a,b_1=b,c_1=cを満たすとする．ただし，a,b,cは定数とする．(1)p_n=a_n+b_n+c_n(n=1,2,3,・・・)で与えられる数列{p_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ．(2)数列{a_n},{b_n},{c_n}の一般項を求めよ．(3)q_n=(-1)^n{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2}(n=1,2,3,・・・)で与えられる数列{q_n}の初項から第2n項までの和をT_nとする．a+b+cが奇数であれば，すべての自然数nに対してT_nが正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．
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