筑波大学
2014年 理系 第3問

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  4. 2014年 - 理系 - 第3問
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関数f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}をx＞0で考える．y=f(x)のグラフの点(a,f(a))における接線をℓ_aとし，ℓ_aとy軸との交点を(0,Y(a))とする．以下の問いに答えよ．ただし，実数kに対して\lim_{t→∞}t^ke^{-t}=0であることは証明なしで用いてよい．(1)Y(a)がとりうる値の範囲を求めよ．(2)0＜a＜bであるa,bに対して，ℓ_aとℓ_bがx軸上で交わるとき，aのとりうる値の範囲を求め，bをaで表せ．(3)(2)のa,bに対して，Z(a)=Y(a)-Y(b)とおく．\lim_{a→+0}Z(a)および\lim_{a→+0}\frac{Z´(a)}{a}を求めよ．
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