筑波大学
2015年 理系 第3問

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  4. 2015年 - 理系 - 第3問
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pとqは正の整数とする．2次方程式x^2-2px-q=0の2つの実数解をα,βとする．ただしα＞βとする．数列{a_n}をa_n=1/2(α^{n-1}+β^{n-1})(n=1,2,3,・・・)によって定める．ただしα^0=1，β^0=1と定める．(1)すべての自然数nに対して，a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_nであることを示せ．(2)すべての自然数nに対して，a_nは整数であることを示せ．(3)自然数nに対し，\frac{α^{n-1}}{2}以下の最大の整数をb_nとする．pとqがq＜2p+1を満たすとき，b_nをa_nを用いて表せ．
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