筑波大学
2018年 理系 第3問

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  4. 2018年 - 理系 - 第3問
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正三角形OABに対し，直線OA上の点P_1，P_2，P_3，・・・および直線OB上の点Q_1，Q_2，Q_3，・・・を，次の(i)，(ii)，(iii)を満たすようにとる．\setlength{skip}{8mm}(i)P_1=Aである．(ii)線分P_1Q_1，P_2Q_2，P_3Q_3，・・・はすべて直線OAに垂直である．(iii)線分Q_1P_2，Q_2P_3，Q_3P_4，・・・はすべて直線OBに垂直である．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとおく．点Oを基準とする位置ベクトルが，整数k,lによってkベクトルa+lベクトルbと表される点全体の集合をSとする．nを自然数とするとき，以下の問いに答えよ．(1)\overrightarrow{OP_n}と\overrightarrow{OQ_n}をベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．(2)ベクトルOR=xベクトルa+yベクトルbで定まる点Rが線分Q_nP_{n+1}上にあるとき，xをyを用いて表せ．また，線分Q_nP_{n+1}上にあるSの点の個数を求めよ．(3)三角形OP_{n+1}Q_nの周または内部にあるSの点の個数を求めよ．
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