慶應義塾大学
2016年 理工学部 第4問
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![iを虚数単位とする.次の事実がある.\begin{waku}[事実F]a,bを互いに素な正の整数とする.このとき,(cos2a/bπ+isin2a/bπ)^k=cos2/bπ+isin2/bπとなる整数kが存在する.\end{waku}(1)等式(cos4/5π+isin4/5π)^k=cos2/5π+isin2/5πを満たす最小の正の整数kは[ツ]である.(2)a,bを互いに素な正の整数とし,集合PをP={z\;\bigg|\; zは整数kを用いて (cos2a/bπ+isin2a/bπ)^k と表される複素数 }で定める.事実Fを考慮すると,集合Pの要素の個数n(P)は[テ]である.(3)事実Fを証明しなさい.(4)a_1,b_1を互いに素な正の整数とし,a_2,b_2も互いに素な正の整数とする.集合Q_1とQ_2をQ_1={z\;\bigg|\; zは整数kを用いて (cos\frac{2a_1}{b_1}π+isin\frac{2a_1}{b_1}π)^k と表される複素数 }Q_2={z\;\bigg|\; zは整数kを用いて (cos\frac{2a_2}{b_2}π+isin\frac{2a_2}{b_2}π)^k と表される複素数 }で定め,集合RをR={z\;\bigg|\; zは集合Q_1の要素と集合Q_2の要素の積で表される複素数 }で定める.b_1とb_2が互いに素ならば,集合Rの要素の個数n(R)は[ト]である.b_1とb_2が互いに素でないとき,それらの最大公約数をdとすれば,集合Rの要素の個数n(R)は[ナ]である.](./thumb/202/89/2016_4.png?1)
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大学(出題年) | 慶應義塾大学(2016) |
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文理 | 理系 |
大問 | 4 |
単元 | 曲線と複素数平面(数学III) |
タグ | |
難易度 | 未設定 |