筑波大学
2017年 理系 第5問

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  4. 2017年 - 理系 - 第5問
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xy平面において，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．また，実数aに対して，a以下の最大の整数を[a]で表す．記号[]をガウス記号という．以下の問いではNを自然数とする．(1)nを0≦n≦Nを満たす整数とする．点(n,0)と点(n,Nsin(\frac{πn}{2N}))を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ．(2)直線y=xと，x軸，および直線x=Nで囲まれた領域（境界を含む）にある格子点の個数をA(N)とおく．このときA(N)を求めよ．(3)曲線y=Nsin(\frac{πx}{2N})(0≦x≦N)と，x軸，および直線x=Nで囲まれた領域（境界を含む）にある格子点の個数をB(N)とおく．(2)のA(N)に対して\lim_{N→∞}\frac{B(N)}{A(N)}を求めよ．
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