宇都宮大学
2013年 理系 第6問

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  4. 2013年 - 理系 - 第6問
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座標平面上で原点Oを中心とする半径1の円の第1象限の部分をCとする．曲線y=f(x)(0＜x＜1)は第4象限にあり，かつすべてのx_1(0＜x_1＜1)について，点(x_1,f(x_1))における接線がC上の点(x_1,y_1)におけるCの接線と直交しているとする．曲線y=f(x)上の動点をPとするとき，次の問いに答えよ．(1)f´(x)を求めよ．(2)点Pにおけるy=f(x)の接線とy軸との交点をQとするとき，線分PQの長さは常に1であることを示せ．(3)x軸上とy軸上に2辺をもち，線分OPを対角線とする長方形の面積をSとする．点PがSを最大にする位置にあるとき，PはPにおける曲線の接線と座標軸が交わってできる2点の中点であることを示せ．(4)f(x)を求めよ．ただし，\lim_{x→1-0}f(x)=0であるとする．
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