早稲田大学
2012年 スポーツ科学学部 第4問

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  4. 2012年 - スポーツ科学学部 - 第4問
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1と2を用いてn桁の自然数を作る．このようなn桁の自然数のうち，3の倍数となる数の個数をa_n，そうでない数の個数をb_nとする．a_1=[ク],b_1=[ケ]である．また，a_n+b_n=[コ]^nであり，さらに，実数p,q,r,sを用いて，a_{n+1}=pa_n+qb_nb_{n+1}=ra_n+sb_nと表すことができる．p=[サ],q=[シ]である．ここで，c_n=\frac{a_n}{2^n}とおくと，c_{n+1}=\frac{[ス]}{2}c_n+\frac{[セ]}{2},c_1=[ソ]となる．よって，a_n=\frac{[タ]}{3}([チ])^n+\frac{[ツ]^n}{3}である．
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