早稲田大学
2014年 基幹理工・創造理工・先進理工 第5問

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  4. 2014年 - 基幹理工・創造理工・先進理工 - 第5問
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Oを原点とする座標平面上に放物線C_1:y=x^2，円C_2:x^2+(y-a)^2=1(a≧0)がある．C_2の点(0,a+1)における接線とC_1が2点A，Bで交わり，△OABがC_2に外接しているとする．次の問に答えよ．(1)aを求めよ．(2)点(s,t)を(-1,a)，(1,a)，(0,a-1)と異なるC_2上の点とする．そして点(s,t)におけるC_2の接線とC_1との2つの交点をP(α,α^2)，Q(β,β^2)とする．このとき，{(α-β)}^2-α^2β^2はs,tによらない定数であることを示せ．(3)(2)において，点P(α,α^2)からC_2への2つの接線が再びC_1と交わる点をQ(β,β^2)，R(γ,γ^2)とする．β+γおよびβγをαを用いて表せ．(4)(3)の2点Q，Rに対し，直線QRはC_2と接することを示せ．
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