早稲田大学
2015年 教育 第1問

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  4. 2015年 - 教育 - 第1問
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次の各問に答えよ．(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)で割ったときの余りを求めよ．(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和AP+BP+PQ+CQ+DQが最小となるようなxの値を求めよ．ただし，x=0のときはPQ=0とする．(3)1から10までの自然数からなる集合{1,2,・・・,10}の中から異なる3つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が3で割り切れる確率を求めよ．(4)座標平面において楕円E:\frac{x^2}{a}+y^2=1を考える．ただし，aはa＞0をみたす定数とする．楕円E上の点A(0,1)を中心とする円Cが，次の2つの条件をみたしているとする．(i)楕円Eは円Cとその内部に含まれ，EとCは2点P，Qで接する．(ii)△APQは正三角形である．このとき，aの値を求めよ．
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