早稲田大学
2013年 政治経済学部 第2問

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  4. 2013年 - 政治経済学部 - 第2問
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次の各問に答えよ．(2)は空欄にあてはまる数または式を記入せよ．(1)数列{a_n}がa_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}(n=1,2,3,・・・)で与えられている．このとき，和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nを求めよ．また，S_nはS_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n)(n=2,3,・・・)を満たすことを示せ．(2)数列{b_n}の和T_n=b_1+b_2+・・・+b_nが(*)T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n)(n=2,3,・・・)を満たしている．もし，T_1=1/2ならば，(*)でn=2ととれば，T_2=T_1=1/2となる．同様に，(*)でn=3,4,・・・ととれば，T_n=1/2(n=3,4,・・・)となる．いま，T_n≠1/2(n=1,2,3,・・・)とする．このとき，U_n=1-2T_nとおくと，U_nは漸化式[ア]を満たす．よって，\frac{1}{U_1}=c(≠0)とおけば，U_nはnとcを用いて，U_n=[イ]と表せる．これより，b_1=[ウ]，b_n=[エ]が得られ，b_nが(1)のa_nと一致するのはc=[オ]のときである．
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