早稲田大学
2012年 教育 第1問

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  4. 2012年 - 教育 - 第1問
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次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．(1)実数a,bが0≦a≦π，a＜bをみたすとき，I(a,b)=∫_a^be^{-x}sinx\;dxとおく．ただし，eは自然対数の底とする．\lim_{b→∞}I(a,b)=0が成立するようにaを定めよ．(2)行列A=\begin{pmatrix}\;\;\;a&b\;\;\;\;\\\;\;\;c&d\;\;\;\;\end{pmatrix}はad-bc=2およびa+d=3をみたし，かつ，ある行列B=\begin{pmatrix}\;\;\;1&1\;\;\;\;\\\;\;\;0&1\;\;\;\;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\;\;\;α&0\;\;\;\;\\\;\;\;0&β\;\;\;\;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\;\;\;1&1\;\;\;\;\\\;\;\;0&1\;\;\;\;\end{pmatrix}^{-1}に対してAB=BAをみたしている．ただしα≠βとする．このような行列Aをすべて求めよ．(3)cを正の実数として，漸化式a_n=\frac{{a_{n-1}}^2}{3^n}(n≧1),\qquada_0=cで定義される数列{a_n}を考える．このとき\lim_{n→∞}a_n=∞となるようなcの範囲を求めよ．(4)実数tが1≦t≦2の範囲で動くとき，xy平面の直線y=(3t^2-4)x-2t^3が通る範囲をHとする．Hの内，直線x=1とx=20/9ではさまれる部分の面積を求めよ．
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