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平面全体に縦横同じ間隔で電球が置かれていて,次の規則で点滅を繰り返すとする.初めはすべての電球が消えている.ある1個の電球が1秒後に点灯し,2秒後にその周りに隣接する8個の電球が点灯する.3秒後には,さらにその外側に隣接する電球が点灯する.一般にn+1秒後には,n秒目に初めて点灯した電球の外側に隣接する電球が点灯する.一度点灯した電球は「2秒間点灯して次の1秒間消灯」を繰り返す.下の図は電球の配置の一部分を示している.\begin{center}\begin{zahyou*}[ul=1mm](-10,75)(-5,55)\Kuromaru[3pt]{(0,0)}\Kuromaru[3pt]{(15,0)}\Kuromaru[3pt]{(30,0)}\Kuromaru[3pt]{(45,0)}\Kuromaru[3pt]{(60,0)}\Kuromaru[3pt]{(0,15)}\Kuromaru[3pt]{(15,15)}\Kuromaru[3pt]{(30,15)}\Kuromaru[3pt]{(45,15)}\Kuromaru[3pt]{(60,15)}\Kuromaru[3pt]{(0,30)}\Kuromaru[3pt]{(15,30)}\Kuromaru[3pt]{(30,30)}\Kuromaru[3pt]{(45,30)}\Kuromaru[3pt]{(60,30)}\Kuromaru[3pt]{(0,45)}\Kuromaru[3pt]{(15,45)}\Kuromaru[3pt]{(30,45)}\Kuromaru[3pt]{(45,45)}\Kuromaru[3pt]{(60,45)}\end{zahyou*}\end{center}n≧1とする.n秒後に初めて点灯する電球の個数をa_nとし,n秒後に点灯している電球の個数をb_nとして,次の問に答えよ.(1)a_nをnを用いた式で表せ.(2)b_nをnを用いた式で表せ.(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{b_n}{n^2}を求めよ.
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