早稲田大学
2011年 基幹理工・創造理工・先進理工 第3問

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  4. 2011年 - 基幹理工・創造理工・先進理工 - 第3問
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f(x)=\frac{logx}{x}とする．以下の問に答えよ．(1)y=f(x)のグラフの概形を次の点に注意して描け：f(x)の増減，グラフの凹凸，x→+0，x→∞のときのf(x)の挙動．(2)nを自然数とする．k=1,2,・・・,nに対してxがe^{\frac{k-1}{n}}≦x≦e^{k/n}を動くときのf(x)の最大値をM_k，最小値をm_kとし，A_n=Σ_{k=1}^nM_k(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}})B_n=Σ_{k=1}^nm_k(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}})とおく．A_n,B_nを求めよ．(3)\lim_{n→∞}A_nおよび\lim_{n→∞}B_n求めよ．(4)各nに対してB_n＜∫_1^ef(x)dx＜A_nであることを示せ．
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