早稲田大学
2011年 政治経済学部 第2問

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  4. 2011年 - 政治経済学部 - 第2問
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次の問に答えよ．(1)a,bは整数で，2次方程式x^2+ax+b=0\dotnum{A}が異なる2つの実数解α,βをもつとする．このとき，α,βはともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\まず，b=0のときは，x^2+ax=0であるから\maru{A}は整数解0,-aをもつ．以下ではb≠0とする．\\解と係数の関係より，α+β=-a,αβ=bであり，これらは整数である．有理数と無理数の和は有理数でなく，整数と整数以外の有理数の和は整数ではないという事実を用いると，α,βがともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい．\\そこで，α,βが2以上の整数p_1,p_2と0でない整数q_1,q_2を用いて，既約分数α=\frac{q_1}{p_1},β=\frac{q_2}{p_2}で表されると仮定する．ここに，\frac{q_i}{p_i}(i=1,2)が既約分数であるとは，p_iと|q_i|の最大公約数が1であることをいう．このとき，α+β=\frac{p_2q_1+p_1q_2}{p_1p_2}・・・・・・①αβ=\frac{q_1q_2}{p_1p_2}・・・・・・②である．(i)①において，α+βが整数であることを用いて，p_1=p_2であることを示せ．(ii)②において，αβが整数であることと問\maru{1}の結果から，既約分数の仮定に矛盾することを示せ．(ii)の結果から，α,βはともに整数であるか，ともに無理数であることが示された．(2)cが自然数のとき，√cは自然数であるか無理数であることを証明せよ．
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