早稲田大学
2010年 人間科学学部（文系） 第5問

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  4. 2010年 - 人間科学学部（文系） - 第5問
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四面体OABCにおいて，線分OAを2:1に内分する点をP，線分OBを3:1に内分する点をQ，線分BCを4:1に内分する点をRとする．この四面体を3点P，Q，Rを通る平面で切り，この平面が線分ACと交わる点をSとするとき，線分の長さの比AS:SCを求めることを考えよう．\\点Sは3点P，Q，Rを通る平面上にあるから，定数s,t,uを用いて，ベクトルOS=sベクトルOP+tベクトルOQ+uベクトルOR(s+t+u=1)と書くことができる．ここで，ベクトルOR=\frac{[ス]ベクトルOB+[セ]ベクトルOC}{[ソ]}であるから，ベクトルOSはベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCそれぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，ベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCの係数をそれぞれ定数s^{\prime},t^{\prime},u^{\prime}とおくことによりベクトルOS=s^{\prime}ベクトルOA+t^{\prime}ベクトルOB+u^{\prime}ベクトルOC(18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ])と書くことができる．ところが，点Sは線分AC上にあることから，s^{\prime},t^{\prime}u^{\prime}を求めることができ，AS:SC=[チ]:[ツ]であることがわかる．ただし，[ソ]，[チ]，[ツ]はできる限り小さい自然数で答えること．
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