獨協医科大学
2016年 医学部 第5問
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![xy平面上の放物線y=x^2の0≦x≦1に対応する部分の長さをLとする.Lの値を次のようにして求めよう.Lは定積分L=∫_0^1\sqrt{1+[ア]x^2}dxで定まる.この定積分を計算するためにx=\frac{e^t-e^{-t}}{4}として,置換積分を行う.このときdx/dt=\frac{e^t+e^{-t}}{4}であり\sqrt{1+[ア]x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{[イ]}である.また,\frac{e^t-e^{-t}}{4}=1となるtの値をαとすると,xが0→1と変化するとき,tは[ウ]→αと変化するので,Lを定める定積分はL=\frac{1}{[エ]}∫_{\mkakko{ウ}}^α(e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}}dtとなる.ここでX=e^αとおくと,Xは2次方程式X^2-[カ]X-[キ]=0の解である.X>0なのでX=[ク]+\sqrt{[ケ]}である.これを用いてαの値を定め,Lの値を計算するとL=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}log([ス]+\sqrt{[セ]})である.](./thumb/101/2273/2016_5.png?1)
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大学(出題年) | 獨協医科大学(2016) |
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文理 | 理系 |
大問 | 5 |
単元 | 積分法(数学III) |
タグ | |
難易度 | 未設定 |