山形大学
2013年 工学部 第4問

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  4. 2013年 - 工学部 - 第4問
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行列A=(\begin{array}{cc}3/2&-1\1&-1/2\end{array}),B=(\begin{array}{cc}p&-2\1&q\end{array}),J=(\begin{array}{cc}1/2&1\0&1/2\end{array})がAB=BJを満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，p,qは定数であり，以下で用いるnは自然数である．(1)p,qの値を求めよ．(2)J^n=\frac{1}{2^n}(\begin{array}{cc}1&2n\0&1\end{array})を示せ．(3)A^n=\frac{1}{2^n}(\begin{array}{cc}1+2n&-2n\2n&1-2n\end{array})を示せ．(4)行列A^nの表す1次変換により，xy平面上の点(p,1)，(-2,q)が，それぞれ点P_n，Q_nに移される．原点をOとして，ベクトルOP_nとベクトルOQ_nのなす角をθ_nとするとき，\lim_{n→∞}cosθ_nを求めよ．
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