愛知県立大学
2014年 理系 第3問

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  4. 2014年 - 理系 - 第3問
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以下の問いに答えよ．(1)定積分∫_0^πcosmxcosnxdxを求めよ．ただし，m,nは自然数とする．(2)aとbをa＜bを満たす実数とし，f(x)とg(x)を区間[a,b]で定義された連続な関数とする．また，∫_a^b{f(x)}^2dx≠0,∫_a^b{g(x)}^2dx≠0であるとする．このとき，任意の実数tに対して∫_a^b{tf(x)+g(x)}^2dx≧0が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．{∫_a^bf(x)g(x)dx}^2≦(∫_a^b{f(x)}^2dx)(∫_a^b{g(x)}^2dx)また，等号が成り立つ条件は，kを定数としてg(x)=kf(x)と表せるときであることを示せ．(3)f(x)は区間[-π,π]で定義された連続な関数で∫_{-π}^π{f(x)}^2dx=1を満たす．このとき，I=∫_{-π}^πf(x)cos2xdxを最大とするf(x)とそのときのIの値を求めよ．
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