山形大学
2018年 工学部 第4問

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  4. 2018年 - 工学部 - 第4問
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数列{a_n}をa_1=1,a_2=π,a_{n+2}=∫_0^{π/2}(a_{n+1}x+π/2a_n)cosxdx(n=1,2,3,・・・)で定義するとき，次の問いに答えよ．(1)∫_0^{π/2}xcosxdx=π/2-1を示せ．(2)数列{b_n}をb_n=a_{n+1}+a_n(n=1,2,3,・・・)で定める．{b_n}は等比数列であることを示し，その一般項を求めよ．(3)数列{c_n}をc_n=a_{n+1}-π/2a_n(n=1,2,3,・・・)で定める．{c_n}は等比数列であることを示し，その一般項を求めよ．(4)(2)と(3)の結果を用いて，数列{a_n}の一般項を求めよ．(5)\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{a_n}の値を求めよ．
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