山口大学
2012年 理(数理科学)・医 第4問

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xy平面において,直線y=8の上に点P_1,P_2,P_3,P_4,P_5が,直線y=0の上に点Q_1,Q_2,Q_3,Q_4,Q_5が,それぞれx座標の小さい順に並んでいる.これらをy=8上の点とy=0上の点ひとつずつからなる5つの組に分け,それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える.下図はその一例である.このとき,次の問いに答えなさい.(プレビューでは図は省略します)(1)3本の線分P_iQ_n,P_jQ_m,P_kQ_lが1点Rで交わるとき,\frac{P_iP_j・Q_lQ_m}{P_jP_k・Q_mQ_n}を求めなさい.ただし,i<j<kかつl<m<nであるとする.(2)P_i,Q_i(1≦i≦5)のx座標を2^iとするとき,どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい.(3)P_i,Q_i(1≦i≦5)のx座標を2^iとするとき,交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい.
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