山口大学
2016年 工・理・教育 第4問

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  4. 2016年 - 工・理・教育 - 第4問
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nを自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．(1)α,βを実数とし，f(x)=\frac{α}{x-α}-\frac{β}{x-β}とする．f(x)の第n次導関数f^{(n)}(x)について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．f^{(n)}(x)={(-1)}^nn!{\frac{α}{{(x-α)}^{n+1}}-\frac{β}{{(x-β)}^{n+1}}}(2)b,cをb^2＞4cを満たす実数とし，h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c}とする．また，h(x)の第n次導関数h^{(n)}(x)に対し，a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}とおく．(i)2次方程式x^2-bx+c=0の解をα,βとする．a_nをα,β,nを用いて表しなさい．(ii)a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0が成り立つことを示しなさい．
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