山口大学
2018年 理（数理科学）・医 第3問

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  4. 2018年 - 理（数理科学）・医 - 第3問
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nを自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．(1)連続な関数f(x)が区間[0,1]で増加するとき，1/nΣ_{k=1}^nf(\frac{k-1}{n})≦∫_0^1f(x)dx≦1/nΣ_{k=1}^nf(k/n)が成り立つことを示しなさい．(2)aが正の有理数のとき，n^{a+1}≦(a+1)Σ_{k=1}^nk^a≦(n+1)^{a+1}が成り立つことを示しなさい．ただし，x^aが連続な関数であることを証明なしに用いてもよい．
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