山口東京理科大学
2017年 工学部(中期) 第3問

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この問題は最短ネットワーク問題と呼ばれるものである.次の問いに答えなさい.(1)図2のように長方形ABCD(AB=2a,AD=b)において,点Aから出発し,辺CD上の1点P(DP=x)を経由して,点Bに至るとき,経路長AP+PBが最小となるのは,点PがCDの中点(x=a)に位置するときであることを微分を利用して証明しなさい.(2)図3のように長方形の頂点に位置する4つの町A,B,C,D(AB=2a,AD=2b(b≧a))を結ぶ最短の道路網を作りたい.この問題を考えるとき,(1)の結果をふまえ対称性(上下,左右が対称である)を考慮すると,図3のように接続点E,Fをつくり道路を作ることが考えられる(点GはABの中点,点HはCDの中点,G,E,F,Hは同一直線上にある).このときABとAEのなす角をθとして全道路長f(θ)=AE+BE+EF+FD+FCを求めなさい.さらにf(θ)を最小とするθを求めなさい.
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