山梨大学
2011年 教育人間科学・生命環境（生命工以外） 第2問

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  4. 2011年 - 教育人間科学・生命環境（生命工以外） - 第2問
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実数全体で定義された関数F(x)が次の条件①と②の両方を満たすとき「F(x)は性質(P)を持つ」ということにする．①すべての実数xについてF(x)＞0である．②F(x)は何度でも微分が可能で\frac{d^2}{dx^2}logF(x)=\frac{1}{{F(x)}^2}を満たす．(1)y=f(x)が性質(P)を持つときy^{\prime\prime}y-(y´)^2=1，y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y´=0となること，および\frac{y^{\prime\prime}}{y}は正の定数であることを示せ．(2)y=f(x)は性質(P)を持つとする．\frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2（kは正の定数）とおくとき，k^2y^2-(y´)^2=1であることを示し，さらにky-y´＞0およびky+y´＞0が成り立つことを示せ．(3)cを実数とする．(2)のとき，関数kf(c)y+1/kf´(c)y´も性質(P)を持つことを証明せよ．ただし①を示すためにkf(c)y+1/kf´(c)y´=f(c)(ky\mpy´)±1/ky´(kf(c)±f´(c))(　複号同順　)を利用してもよい．
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