横浜市立大学
2010年 医学部 第3問

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  4. 2010年 - 医学部 - 第3問
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nは自然数とする．1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})に対し，n個の積A^nをA^n=(\begin{array}{cc}a_n&b_n\c_n&d_n\end{array}),A^1=Aとおく．また，0＜v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して，Aは等式A(\begin{array}{c}u\v\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}u\v\end{array})をみたすとする．以下の問いに答えよ．(1)不等式(1+v/u)\lambda^n≦a_n+b_n+c_n+d_n≦(1+u/v)\lambda^nを示せ．(2)Mを1+1/bと1+1/cの大きい方（b=cの場合はどちらでも良い）とするとき，不等式a_n+b_n+c_n+d_n＜M(a_{n+1}+d_{n+1})を示せ．(3)数列{1/nlog(a_n+d_n)}の極限値を求めよ．
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