横浜市立大学
2013年 医学部 第2問

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  4. 2013年 - 医学部 - 第2問
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aを正の定数とする．nを0以上の整数とし，多項式P_n(x)をn階微分を用いてP_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n(n≧1),P_0(x)=1とおく．以下の問いに答えよ．(1)n=2およびn=3に対してP_2(-a),P_3(-a)を求めよ．(2)u=u(x)，v=v(x)を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bfライプニッツの公式}(uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v´+・・・+\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+・・・+\comb{n}{n-1}u´v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)}を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，n≧1）．ここで，w^{(k)}はw=w(x)の第k次導関数を表し，またw^{(0)}=wとする．(3)一般のnに対してP_n(-a),P_n(a)を求めよ．
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