横浜市立大学
2013年 国際総合学部 第2問

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  4. 2013年 - 国際総合学部 - 第2問
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n個のボールと，1からnまでの番号がふられたn個の空の箱がある．また，1からnの番号が書かれたn枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．手順1袋からカードを1枚無作為に取り出して，手順2に進む．手順2手順1で取り出したカードに書かれている番号の箱が，\begin{itemize}空ならば，そこにボールを1つ入れて，手順3へ進む．空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順1に戻る．\end{itemize}手順3手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，\begin{itemize}すべての箱にボールが入っていれば終了する．空の箱が1つでもあれば，手順1に戻る．\end{itemize}また，1≦k≦nを満たす自然数kについて，k-1個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし，k=1のときは，はじめの状態とする）の後に，\begin{itemize}次のボール，すなわちk個目のボールを箱に入れるまでにちょうどi枚のカードを袋から取り出す確率をP_k(i)とし，i枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率をQ_k(i)とする．ただし，Q_k(0)=1とする．\end{itemize}このとき，以下の問いに答えよ．(1)n=4のときP_3(1)，P_3(2)，Q_3(2)をそれぞれ求めよ．(2)Q_k(i)をP_k(i+1)，P_k(i+2)，・・・，P_k(k)を用いて表せ．ただし，0≦i≦k-1とする．(3)k-1個目のボールを箱に入れてからk個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値E_kはQ_k(0)+Q_k(1)+・・・+Q_k(k-1)であることを示せ．(4)不等式E_k≦\frac{n}{n-k+1}が成り立つことを示せ．(5)不等式E_1+E_2+・・・+E_n≦n+nlognが成り立つことを示せ．
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試験前で混乱するので解答のご要望は締め切りました。なお、現時点で解答がついていない問題は解答は来年度以降になります。すべてのご要望に答えられずご迷惑をおかけします。
コメント（1件）
2015-07-20 22:04:54

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