横浜市立大学
2011年 医学部 第3問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第3問
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平面上の点Aを中心とする半径aの円から，中心角が{60}°でAP=AQ=aとなる扇形APQを切り取る．つぎに線分APとAQを貼り合わせて，Aを頂点とする直円錐Kを作り，これを点Oを原点とする座標空間におく．A，Pはそれぞれz軸，x軸上の正の位置にとり，扇形APQの弧PQはxy平面上のOを中心とする円Sになるようにする．また弦PQから定まるKの側面上の曲線をCとする．（プレビューでは図は省略します）以下の問いに答えよ．(1)Sの半径をbとする．S上の点R(bcosθ,bsinθ,0)(0≦θ≦2π)に対し，K上の母線ARとCの交点をMとする．bと線分AMの長さをaとθを用いて表せ．(2)ベクトルベクトルOMをxy平面に正射影したベクトルの長さをrとする．rをaとθを用いて表し，定積分∫_0^{2π}1/2{r(θ)}^2dθを求めよ．ただし，ベクトルベクトルOE=(a_1,a_2,a_3)をxy平面に{\bf正射影したベクトル}とは\overrightarrow{OE´}=(a_1,a_2,0)のことである．
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