横浜市立大学
2014年 医学部 第2問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第2問
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ある開区間Dで与えられた関数f(x)は，2階微分可能で，第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は連続で，更にf^{\prime\prime}(x)＜0と仮定する．以下の問いに答えよ．(1)a_1＜a_2＜a_3を満たすDのa_1,a_2,a_3に対して\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}＞\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2}を示せ．(2)x_1,x_2をDの実数とする．0≦α≦1を満たすαに対してf(αx_1+(1-α)x_2)≧αf(x_1)+(1-α)f(x_2)を示せ．(3)x_1,x_2,x_3をDの実数とする．α_1,α_2,α_3≧0及びα_1+α_2+α_3=1を満たすα_1，α_2，α_3に対してf(α_1x_1+α_2x_2+α_3x_3)≧α_1f(x_1)+α_2f(x_2)+α_3f(x_3)を示せ．(4)D=(0,∞)とする．上の議論を用いて，Dのx_1,x_2,x_3に対して不等式\frac{x_1+x_2+x_3}{3}≧\sqrt[3]{x_1x_2x_3}を示せ．
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