横浜市立大学医学部 2016年問題1

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$以下の問いに答えよ．(1)ある大学でN人の学生が数学を受験した．その得点をx_1,x_2,・・・,x_Nとする．平均値\overline{x}および分散s^2は各々\overline{x}=\frac{x_1+x_2+・・・+x_N}{N}s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+・・・+(x_N-\overline{x})^2}{N}で与えられる．標準偏差s(＞0)はs=\sqrt{s^2}となる．このときx点を取った学生の{\bf偏差値}はt=50+10×\frac{x-\overline{x}}{s}で与えられる（x\in{x_1,x_2,・・・,x_N}）．偏差値は{\bf無単位}であることに注意せよ．Y大学でN=3n人の学生が数学を受験し，たまたま2n人の学生がa点，残りのn人の学生がb点を取ったとしよう．簡単にするためにa＜bとする．a点を取った学生およびb点を取った学生の偏差値を求めよ．(2)方程式x^2-3y^2=13の整数解を求める．簡単にするためにx＞0,y＞0とする．まずX=ax+by,Y=cx+dyとおく．a,b,c,dを自然数として，(X,Y)が再び方程式X^2-3Y^2=13を満たすための組(a,b,c,d)を1つ求めよ．次に，解の組(x,y)でx＞500となる(x,y)を1つ求めよ．(3)nを自然数とする．漸化式a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0a_1=1,a_2=1で定められる数列{a_n}の一般項を求めよ．(4)nを0以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．∫{-\frac{(logx)^n}{x^2}}dx=Σ_{k=0}^n[]ただし，積分定数は書かなくてよい．$