横浜市立大学
2016年 医学部 第3問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第3問
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関数y=tanxは，区間-π/2＜x＜π/2で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それをy=\phi(x)(-∞＜x＜∞)と書く（この逆関数を\mathrm{Arctan}xと書く参考書もある）．正確を期すために，-π/2＜\phi(x)＜π/2としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「-∞＜x＜∞」は「xは実数」という意味である．(1)関数f(x)をf(x)=\frac{1}{4√2}log\frac{x^2+√2x+1}{x^2-√2x+1}+\frac{1}{2√2}{\phi(√2x+1)+\phi(√2x-1)}とおく．f(x)の導関数f´(x)を求めよ．(2)積分∫_0^1\frac{1}{x^4+1}dxを求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数G(x)で∫_0^1\frac{1}{x^4+1}dx=G(√2+1)となる関数を求めよ．(3)積分の等式∫_0^π\frac{xsinx}{1+cos^4x}dx=π∫_0^{π/2}\frac{sinx}{1+cos^4x}dxを示せ．(4)積分∫_0^{π}\frac{xsinx}{1+cos^4x}dxを求めよ．
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