茨城大学
2017年 理学部 第2問
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![αを複素数の定数とし,自然数nに対して複素数z_nをz_1=0,z_{n+1}=αz_n+1-αで定める.以下の各問に答えよ.(1)z_2,z_3,z_4をそれぞれαを用いて表せ.(2)一般のnについてz_nを推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.以下では,α=1/2(cosθ+isinθ)とする.ただし,iは虚数単位を表し,0≦θ<2πとする.(3)θ/πが無理数であるとき,どんな自然数nに対してもz_{n+1}は実数にならないことを示せ.(4)自然数nに対して,複素数平面上の2点z_nとz_{n+1}との距離をl_nとする.無限級数Σ_{n=1}^{∞}l_nの和Lを求めよ.さらに,θが0≦θ<2πの範囲を動くとき,Lの最大値とそのときのθの値を求めよ.](./thumb/85/2188/2017_2.png?1)
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大学(出題年) | 茨城大学(2017) |
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文理 | 理系 |
大問 | 2 |
単元 | 曲線と複素数平面(数学III) |
タグ | |
難易度 | 未設定 |