「さいころ」について

　国立 京都大学 2012年 第6問

さいころをn回投げて出た目を順にX1,X2,・・・,Xnとする．さらに
Y1=X1,Yk=Xk+\frac{1}{Y_{k-1}}(k=2,・・・,n)
によってY1,Y2,・・・,Ynを定める．
\frac{1+√3}{2}≦Yn≦1+√3
となる確率pnを求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第5問

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目をℓ，2回目に出る目をm，3回目に出る目をnで表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．
(1)極限値
\lim_{x→-1}\frac{lx2+mx+n}{x+1}
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
f(x)=\frac{lx2+mx+n}{x+1}
が，x＞-1の範囲で極値をとる確率を求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第1問

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目をl，2回目に出る目をm，3回目に出る目をnで表し，3次式
f(x)=x3+lx2+mx+n
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)が(x+1)2で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数y=f(x)が極大値も極小値もとる確率を求めよ．

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれA，B，Cとし，頂点A上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
[　R　]さいころの目が3の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，3の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを3回投げたとき，碁石が頂点A，B，C上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころをn・・・

　国立 千葉大学 2012年 第3問

さいころを7回投げ，k回目（1≦k≦7）に出る目をXkとする．
(1)積X1X2が18以下である確率を求めよ．
(2)積X1X2・・・X7が偶数である確率を求めよ．
(3)積X1X2・・・X7が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積X1X2・・・X7を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．

　国立 信州大学 2012年 第3問

さいころを1000回投げるとき，1の目がちょうどk回出る確率をPkとおく．Pkが最大となるkを求めよ．

　国立 広島大学 2012年 第4問

Nは4以上の整数とする．次の規則にしたがって1個のさいころを繰り返し投げる．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が3回出るか，あるいは奇数の目がN回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを3回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころをN回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出・・・

　国立 広島大学 2012年 第5問

nは自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
(A)Pは，はじめに点(1,2)にある．\\
(B)さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに120°回転し，3以上の目が出れば時計回りに60°回転する．\\
(C)(B)をn回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)n=3のとき，出た目が4,1,2であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)n=3のとき，Pが・・・

　国立 東京工業大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD，辺OCの中点をEとする．2つのベクトルベクトルDEとベクトルACとの内積を求めよ．
(2)1から6までの目がそれぞれ1/6の確率で出るさいころを同時に3個投げるとき，目の積が10の倍数になる確率を求めよ．

　国立 九州工業大学 2012年 第1問

1つのさいころを4回投げ，i回目(i=1,2,3,4)に出る目をaiとする．また，出る目の種類を数え，その数をmとする．例えば，a1=2,a2=3,a3=2,a4=5のとき，2,3,5の3種類の目が出たのでm=3とする．次に答えよ．
(1)m=1となる場合は何通りあるか．
(2)m=2となる確率を求めよ．
(3)mの期待値を求めよ．
(4)a1≦a2≦a3≦a4となる確率を求めよ．