「グラフの概形」について

　国立 帯広畜産大学 2014年 第2問

関数f(x)をf(x)=-7+k∫06|x-u|duと定義する．ただし，kは定数，f(3)=-5である．次の各問に答えなさい．
(1)kの値を求めなさい．
(2)y=f(x)のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数s,tが条件0≦s≦20，0≦t≦20を満たしながら動くとき，xy座標平面上の点
P(1/2s+1/10t,-1/4s-1/5t)
が動く領域Dを求めなさい．
(4)不等式y≧f(x)の表す領域をEとするとき，領域Eと領・・・

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問

aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数
f(x)=∫a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}du
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．
(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．
(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．
1+bS＜p＜e^{bS}
\e・・・

　国立 旭川医科大学 2014年 第1問

関数f(x)=log(1+x2)について，次の問いに答えよ．
(1)∫01log(1+x2)dxを求めよ．
(2)導関数f´(x)の増減を調べ，y=f´(x)のグラフの概形をかけ．
(3)曲線C:y=f(x)と曲線Cの互いに直交している2本の接線とで囲まれる図形の面積Sを求めよ．

　国立 徳島大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x-2/xのグラフの概形をかけ．
(2)不等式|x-2/x|＜1を解け．

　国立 徳島大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x-2/xのグラフの概形をかけ．
(2)不等式|x-2/x|＜1を解け．

　国立 愛知教育大学 2014年 第4問

座標平面上に点A(0,0)，B(2,0)，C(1,√3)を頂点とする正三角形ABCをとる．また，点(-1,0)，(0,0)，(-1/2,\frac{√3}{2})を頂点とする正三角形をx軸の正の方向にtだけ平行移動して得られる正三角形PQRを考える．ただし，tは0以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)△ABCと△PQRの共通部分の面積をf(t)とするとき，関数y=f(t)のグラフの概形を描け．
\・・・

　国立 富山大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示せ．
(2)f(x)=x2logx(x＞0)とおく．\lim_{x→+0}f(x)=0を示せ．
(3)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(4)I(t)=∫t2f(x)dx(t＞0)とおく．このとき，\lim_{t→+0}I(t)を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示せ．
(2)f(x)=x2logx(x＞0)とおく．\lim_{x→+0}f(x)=0を示せ．
(3)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(4)I(t)=∫t2f(x)dx(t＞0)とおく．このとき，\lim_{t→+0}I(t)を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第3問

関数f(x)とg(x)を
f(x)={\begin{array}{ll}
|xlog\abs{x|}&(x≠0)\phantom{\frac{[]}{2}}\
0\phantom{\frac{[]}{2}}&(x=0)
\end{array}.
g(x)=-x2+1
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示し，これを用いてf(x)はx=0で連続であることを示せ．
(2)f(x)の極値を求め，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)方程式f(x)=g(x)の解はx=-1,1のみであ・・・

　国立 宮城教育大学 2014年 第4問

関数f(x)=e^{√2sinx}を考える．次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦2πにおいて，関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)aを実数とする．関数f(x)の導関数をf´(x)とするとき，xの方程式f´(x)=aの0≦x≦2πにおける実数解の個数を求めよ．