「グラフの概形」について

　国立 三重大学 2013年 第4問

関数y=xe^{-2x}を考える．
(1)y´,y^{\prime\prime}を求めよ．
(2)この関数の0≦x≦2における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

　国立 三重大学 2013年 第4問

y2=(x-2)2(x+1)で決まる曲線をCとする．以下の問いに答えよ．
(1)関数y=(x-2)\sqrt{x+1}の増減を調べ，関数のグラフの概形をかけ．
(2)曲線Cの概形をかけ．
(3)曲線Cで囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第7問

-2≦x≦2上で関数f(x),g(x)を
f(x)=1/2-1/4|x|,g(x)=∫_{-2}xf(t)dt
によって定める．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)g(x)を計算し，y=g(x)のグラフの概形を描け．
(3)y=g(x)の逆関数y=g^{-1}(x)を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)∫01(g^{-1}(x))2dxを計算せよ．
(5)y=g^{-1}(x)はx=1/2で微分可能であることを示せ．

　国立 群馬大学 2013年 第2問

aはa＞1を満たす定数とし，2つの関数f(x)とg(x)をf(x)=|x2-a|，g(x)=-|x+1|+aとする．
(1)y=f(x)のグラフの概形を書け．
(2)y=g(x)のグラフの概形を書け．
(3)y=f(x)とy=g(x)のグラフの交点が2個，3個，4個になるときのaの範囲または値をそれぞれ求めよ．

　国立 東京海洋大学 2013年 第5問

f(x)=2sinx+cos2x(0≦x≦2π)とする．
(1)関数y=f(x)の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式f(x)=0の解をα,β(0≦α＜β≦2π)とする．sinα，cosα，sinβ，cosβの値を求めよ．
(3)y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形で，第4象限に含まれる部分の面積を求めよ．

　私立 東北学院大学 2013年 第3問

関数y=-x3+xについて以下の問いに答えよ．
(1)極値を求めグラフの概形を描け．
(2)グラフ上の点P(t,-t3+t)(t＞0)における接線とグラフとの交点Qの座標を求めよ．
(3)(2)の接線が点(0,2)を通るとき線分PQの長さを求めよ．

　私立 東北学院大学 2013年 第4問

関数f(x)=x2e^{-x}について以下の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の極値を求めグラフの概形を描け（変曲点は求めなくてよい）．
(3)∫01f(x)dxを求めよ．

　私立 名城大学 2013年 第4問

kを実数とする．関数f(x)=(k-cosx)(k-sinx)(0≦x≦π)がx=π/2で極値をとるとする．
(1)kの値を求めよ．
(2)関数y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)曲線y=f(x)とx軸が囲む図形の面積を求めよ．

　私立 日本医科大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)x≧1,k=0,1,2,・・・として
Ik(x)=∫\frac{(logx)k}{x2}dx
とおくとき，I0(x)を求め，I_{k+1}(x)をIk(x)を用いて表せ．またI4(x)を求めよ．
(2)x＞0で不等式logx≦3/ex^{1/3}が成り立つことを証明せよ．
(3)関数f(x)=\frac{(logx)2}{x}に関する以下の各問いに答えよ．
(i)y=f(x)(x≧1)の極値，極限\displ・・・

　私立 同志社大学 2013年 第2問

3次関数f(x)=-1/2x3+3/2xについて次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)|x|≦2における関数y=f(x)の最大値M，および最小値mを求めよ．
(3)定数kがm≦k≦Mをみたすとき，直線y=kと曲線y=f(x)の共有点の個数を調べよ．
(4)定数Kがm≦K≦Mをみたすとき，sin3θ+cos3θ=Kをみたすθの個数を調べよ．ただし，-3/4π≦θ≦1/4πとする・・・