「グラフの概形」について

　国立 鹿児島大学 2011年 第2問

0≦x≦1とする．このとき，関数f(x)を
f(x)=∫01|t2-xt|dt
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)tの関数g(t)=|t2-xt|のグラフの概形をかけ．
(2)f(x)を求めよ．
(3)f(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第3問

0≦x≦1とする．このとき，関数f(x)を
f(x)=∫01|t2-xt|dt
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)tの関数g(t)=|t2-xt|のグラフの概形をかけ．
(2)f(x)を求めよ．
(3)f(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2011年 第2問

aを正の実数とし，実数xについての関数f(x)=(x3+ax)e^{-\frac{x2}{a}}を考える．ただし任意の自然数nに対して\lim_{t→∞}tne^{-t}=0であることを使ってよい．
(1)y=f(x)のグラフの概形を，極値および変曲点を調べて描け．
(2)g(x)=∫0xf(t)dtを求めよ．
(3)f(x)=g(x)となる実数xはいくつあるか．

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

f(x)=\frac{logx}{x}とする．以下の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を次の点に注意して描け：f(x)の増減，グラフの凹凸，x→+0，x→∞のときのf(x)の挙動．
(2)nを自然数とする．k=1,2,・・・,nに対してxがe^{\frac{k-1}{n}}≦x≦e^{k/n}を動くときのf(x)の最大値をMk，最小値をmkとし，
An=Σ_{k=1}nMk(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}})
Bn=Σ_{k=1}nmk(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}・・・

　私立 愛知工業大学 2011年 第2問

f(x)=x(1-logx)(x＞0)とする．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)xy平面において，y=f(x)の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}xlogx=0である．
(2)xy平面において，曲線y=f(x)がx軸の正の部分と交わる点における曲線の接線をℓとする．直線ℓ，直線x=1および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積を求めよ．

　公立 広島市立大学 2011年 第4問

関数f(x)=(x-2)e^{-x/3}について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフの概形を描け．必要であれば\lim_{x→∞}xe^{-x}=0を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
x≧0,y≦0,y≧f(x)

　公立 兵庫県立大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)sin(πsinx)の導関数を求めよ．
(2)y=sin(πsinx)(0≦x≦2π)の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．凹凸は調べる必要はない．

　国立 神戸大学 2010年 第3問

f(x)=\frac{logx}{x},g(x)=\frac{2logx}{x2}(x＞0)とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底eについて，e=2.718・・・であること，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることを証明なしで用いてよい．
(1)2曲線y=f(x)とy=g(x)の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間x＞0において，関数y=f(x)とy=g(x)の増減，極値を調べ，2曲線y=f(x),y=g(x)のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間1≦x・・・

　国立 静岡大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)不等式x+x2logx＞0が成り立つことを示せ．
(2)関数y=-x2logxの増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

　国立 名古屋大学 2010年 第2問

関数f(x)=(x2-x)e^{-x}について，以下の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数nに対して
\lim_{x→+∞}xne^{-x}=0
が成り立つことを用いてよい．
(1)y=f(x)のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2)a＞0とする．点(0,a)を通るy=f(x)のグラフの接線が1本だけ存在するようなaの値を求めよ．また，aがその値をとるとき，y=f(x)のグラフ，その接線およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ．