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数列{an}は初項が4で，A,Bをある定数として
a_{n+1}=\frac{Aan+B}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で与えられている．数列{bn}は等比数列であり，関係式
anbn-an+bn+3=0(n=1,2,3,・・・)
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)A,Bを求めよ．
(2)数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第2問pは0でない実数とし
a1=1,a_{n+1}=1/pan-(-1)^{n+1}(n=1,2,3,・・・)
によって定まる数列{an}がある．
(1)bn=pnanとする．b_{n+1}をbn,n,pで表せ．
(2)一般項anを求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第2問p,qは正の実数とし，
a1=0,a_{n+1}=pan+(-q)^{n+1}(n=1,2,3,・・・)
によって定まる数列{an}がある．
(1)bn=\frac{an}{pn}とする．数列{bn}の一般項をp,q,nで表せ．
(2)q=1とする．すべての自然数nについてa_{n+1}≧anとなるようなpの値の範囲を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第2問座標平面上の放物線
Cn:y=x2-pnx+qn\qquad(n=1,2,3,・・・)
を考える．ただし，pn,qnは
p12-4q1=4,pn2-4qn＞0\qquad(n=2,3,4,・・・)
を満たす実数とする．Cnとx軸との二つの交点を結ぶ線分の長さをℓnとする．また，Cnとx軸で囲まれた部分の面積Snは
\frac{S_{n+1}}{Sn}=(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}})3\qquad(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)Cnの頂点のy座標をℓnを用いて表せ．
\mon・・・
国立 神戸大学 2015年 第2問数列{an}，{bn}，{cn}がa1=5，b1=7をみたし，さらにすべての実数xとすべての自然数nに対して
x(a_{n+1}x+b_{n+1})=∫_{cn}^{x+cn}(ant+bn)dt
をみたすとする．以下の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)cn=3^{n-1}のとき，数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)cn=nのとき，数列{bn}の一般項を求めよ．
国立 岡山大学 2015年 第3問数列{an}は，関係式
a1=1,a2=2,a_{n+2}-4a_{n+1}+3an=1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．bn=a_{n+1}-an(n=1,2,3,・・・)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)b_{n+1}とbnの間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第2問2つの関数
f(x)=\frac{2}{2x+3},g(x)=\frac{2x+1}{-x+2}
がある．
(1)関数g(x)の逆関数g^{-1}(x)を求めよ．
(2)合成関数g^{-1}(f(g(x)))を求めよ．
(3)実数cが無理数であるとき，f(c)は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=g(√2),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)
(5)(4)で定められた数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．
国立 東北大学 2015年 第1問次の性質をもつ数列{an}を考える．
\begin{array}{lll}
a1=3&&\
a_{n+1}＞an&\phantom{\frac{[]}{2}}&(n=1,2,3,・・・)\
an2-2ana_{n+1}+a_{n+1}2=3(an+a_{n+1})&\phantom{\frac{[]}{2}}&(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
(1)n=1,2,3,・・・に対し，an+a_{n+2}をa_{n+1}を用いて表せ．
(2)bn=a_{n+1}-an(n=1,2,3,・・・)により定まる数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第1問数列{an}を
a1=5,a_{n+1}=\frac{4an-9}{an-2}(n=1,2,3,・・・)
で定める．また数列{bn}を
bn=\frac{a1+2a2+・・・+nan}{1+2+・・・+n}(n=1,2,3,・・・)
と定める．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)すべてのnに対して，不等式bn≦3+\frac{4}{n+1}が成り立つことを示せ．
(3)極限値\lim_{n→∞}bnを求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第1問次の条件によって定められる数列{an}，{bn}がある．
a1=1/2,3a_{n+1}=an-2a_{n+1}an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b_{n+1}=bn+\frac{n}{an}(n=1,2,3,・・・)
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数nについてan＞0である．
(1)cn=\frac{1}{an}とおくとき，c_{n+1}とcnの関係式を求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)数・・・
