「一般項」について

　国立 東北大学 2013年 第4問

数列{an},{bn}を
an=∫_{-π/6}^{π/6}e^{nsinθ}dθ,bn=∫_{-π/6}^{π/6}e^{nsinθ}cosθdθ(n=1,2,3,・・・)
で定める．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)一般項bnを求めよ．
(2)すべてのnについて，bn≦an≦\frac{2}{√3}bnが成り立つことを示せ．
(3)\lim_{n→∞}1/nlog(nan)を求めよ．ただし，対数は自然対・・・

　国立 埼玉大学 2013年 第2問

数列{an},{bn}の一般項を
an=∫01x(1-x)ndx,bn=∫01x2(1-x)ndx(n=1,2,3,・・・)
で定める．
(1)anを求めよ．
(2)bnを求めよ．
(3)Sn=Σ_{k=1}nbkとする．\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　国立 名古屋大学 2013年 第1問

3人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが1人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．3人でジャンケンを始め，ジャンケンがn回目まで続いてn回目終了時に2人が残っている確率をpn，3人が残っている確率をqnとおく．
(1)p1,q1を求めよ．
(2)pn,qnがみたす漸化式を導き，pn,qnの一・・・

　国立 名古屋大学 2013年 第1問

3人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが1人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．3人でジャンケンを始め，ジャンケンがn回目まで続いてn回目終了時に2人が残っている確率をpn，3人が残っている確率をqnとおく．
(1)p1,q1を求めよ．
(2)pn,qnがみたす漸化式を導き，pn,qnの一・・・

　国立 信州大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項がan=1+(-1)nで与えられているとき，数列{an}の第1項から第n項までの和Snを求めよ．
(2)数列{bn}の一般項がbn=n+(-1)nで与えられているとき，数列{bn}の第1項から第n項までの和Tnを求めよ．

　国立 福岡教育大学 2013年 第3問

次の条件によって定められる数列{an}がある．
a1=1,an=\frac{a_{n-1}}{(4n+3)a_{n-1}+5}(n=2,3,4,・・・)
次の問いに答えよ．
(1)bn=\frac{1}{an}(n=1,2,3,・・・)とおくとき，数列{bn}の漸化式を求めよ．
(2)(1)のbnを用いてcn=b_{n+1}-bn(n=1,2,3,・・・)とおくとき，数列{cn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第3問

実数を成分とする行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})は，A3-3A+2E=O，A≠-2Eかつa+d≠2を満たすとする．ただし，Eは単位行列(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，Oは零行列(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Aは単位行列Eの実数倍ではないことを示せ．
(2)a+d,ad-bcの値を求めよ．
(3)Aの逆行列をA^{-1}として，自然数nに対して・・・

　国立 愛知教育大学 2013年 第2問

数列{an}を
a1=1,n2an-(n-1)2a_{n-1}=n(n=2,3,4,・・・)
で定める．また，数列{bn}を
bn=a1a2・・・an(n=1,2,3,・・・)
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項と，数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)Sn=Σ_{k=1}nbkとおくとき，Snを求めよ．

　国立 山梨大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|x-2|+|x+3|＜6を満たす実数xの値の範囲を求めよ．
(2)a1=1,a2=2,a_{n+2}-2a_{n+1}+an=1で定められる数列{an}の一般項anを求めよ．
(3)毎年1月の人口調査で，人口が前年の98%に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の70%以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，log_{10}2=0.3010，log_{10}7=0.8451として，答えは整数で求めよ．
(4)直線y=2xと放物線y=x2+4x+cos2θ+1/2(0≦・・・

　国立 岩手大学 2013年 第3問

数列{an}は，a1=1,an＞0(n=2,3,・・・)であり，Sn=Σ_{i=1}naiとするとき
\frac{S_{n+1}}{Sn}=10n
を満たすものとする．また，数列{bn}をbn=log_{10}Snと定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列{bn}の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}のn≧2での一般項を求めよ．