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3つの数列{an},{bn},{cn}が
\begin{array}{lll}
a_{n+1}=-bn-cn&&(n=1,2,3,・・・)\
b_{n+1}=-cn-an&&(n=1,2,3,・・・)\
c_{n+1}=-an-bn&&(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
およびa1=a,b1=b,c1=cを満たすとする.ただし,a,b,cは定数とする.
(1)pn=an+bn+cn(n=1,2,3,・・・)で与えられる数列{pn}の初項から第n項までの和Snを求めよ.
(2)数列{an},{bn},{cn}の一般項を求めよ.
(3)qn=(-1)・・・
国立 山形大学 2013年 第3問公差が0でない等差数列{an}において,初項から第n項までの和をSnとする.また,{a5}2+{a6}2={a7}2+{a8}2,S_{13}=13が成り立つとする.このとき,次の問に答えよ.
(1)a5+a8=a6+a7であることを示せ.
(2)数列{an}の一般項を求めよ.
(3)Snを求めよ.
(4)mを自然数とする.\frac{ama_{m+1}}{a_{m+2}}の値が数列{an}の項として現れるすべてのmを求めよ.
国立 山形大学 2013年 第2問公差が0でない等差数列{an}において,初項から第n項までの和をSnとする.また,{a5}2+{a6}2={a7}2+{a8}2,S_{13}=13が成り立つとする.このとき,次の問に答えよ.
(1)a5+a8=a6+a7であることを示せ.
(2)数列{an}の一般項を求めよ.
(3)Snを求めよ.
(4)mを自然数とする.\frac{ama_{m+1}}{a_{m+2}}の値が数列{an}の項として現れるすべてのmを求めよ.
国立 山形大学 2013年 第2問公差が0でない等差数列{an}において,初項から第n項までの和をSnとする.また,{a5}2+{a6}2={a7}2+{a8}2,S_{13}=13が成り立つとする.このとき,次の問に答えよ.
(1)a5+a8=a6+a7であることを示せ.
(2)数列{an}の一般項を求めよ.
(3)Snを求めよ.
(4)mを自然数とする.\frac{ama_{m+1}}{a_{m+2}}の値が数列{an}の項として現れるすべてのmを求めよ.
国立 三重大学 2013年 第5問正四面体ABCDを考える.点Pは,時刻0では頂点Aにあり,1秒ごとに,今いる頂点から他の3頂点のいずれかに動くとする.nを正の整数として,Aから出発してn秒後にAに戻る経路の数をαn,Aから出発してn秒後にBに到達する経路の数をβnとする.このとき,Aから出発してn秒後にCに到達する経路の数も,Dに到達する経路の数もβnとなる.このことに注意して,以下の問いに答えよ.ただしα0=1,β0=0とする.
\begin・・・
国立 三重大学 2013年 第3問正四面体ABCDを考える.点Pは,時刻0では頂点Aにあり,1秒ごとに,今いる頂点から他の3頂点のいずれかに,等しい確率で動くとする.nを0以上の整数とし,点Pがn秒後にA,B,C,Dにある確率を,それぞれpn,qn,rn,snとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1)n≧1に対しqn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ.
(2)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ.ただし,p0=1,q0=0とする.・・・
国立 三重大学 2013年 第3問正四面体ABCDを考える.点Pは,時刻0では頂点Aにあり,1秒ごとに,今いる頂点から他の3頂点のいずれかに,等しい確率で動くとする.nを0以上の整数とし,点Pがn秒後にAにある確率をpn,Bにある確率をqnとする.このとき,n秒後にCにある確率も,Dにある確率もqnとなる.このことに注意して,以下の問いに答えよ.ただし,p0=1,q0=0とする.
(1)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ.
(2)cn=pn-q_・・・
国立 群馬大学 2013年 第6問下図のように,1から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列A1,A2,A3,・・・がある.正三角形An(n=1,2,3,・・・)の右下隅にある碁石の番号をanとし,An中のすべての碁石の番号の和をSnとする.
(例a1=3,a2=8,a3=16,S2=4+5+6+7+8+9=39)
(プレビューでは図は省略します)
(1)anの一般項を求めよ.
(2)Snの一般項を求めよ.
(3)\lim_{n→∞}\frac{1}{n5}Σ_{k=1}nk(Sk-3/2k)を,ある関数の定積・・・
国立 山口大学 2013年 第2問数列{an}が
a1=1/4,a_{n+1}=\frac{an}{4an+5}(n=1,2,3,・・・)
で定められるとき,次の問いに答えなさい.
(1)a2,a3,a4を求めなさい.
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき,数列{bn}は
b_{n+1}=5bn+4(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを証明しなさい.
(3)数列{an}の一般項を求めなさい.
国立 福井大学 2013年 第3問数列{an}が次の関係式を満たしている.
a1=-1,5a_{n+1}-4an=1(n=1,2,3,・・・)
このとき,以下の問いに答えよ.ただし,log_{10}2=0.3010として計算してよい.
(1)数列{an}の一般項を求めよ.
(2)Sn=Σ_{k=1}nakとおくとき,Snをnの式で表せ.
(3)n≧9のとき,Sn>0となることを示せ.