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3つの数列{an},{bn},{cn}が
\begin{array}{lll}
a_{n+1}=-bn-cn&&(n=1,2,3,・・・)\
b_{n+1}=-cn-an&&(n=1,2,3,・・・)\
c_{n+1}=-an-bn&&(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
およびa1=a,b1=b,c1=cを満たすとする．ただし，a,b,cは定数とする．
(1)pn=an+bn+cn(n=1,2,3,・・・)で与えられる数列{pn}の初項から第n項までの和Snを求めよ．
(2)数列{an},{bn},{cn}の一般項を求めよ．
(3)qn=(-1)・・・
国立 山形大学 2013年 第3問公差が0でない等差数列{an}において，初項から第n項までの和をSnとする．また，{a5}2+{a6}2={a7}2+{a8}2，S_{13}=13が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a5+a8=a6+a7であることを示せ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)Snを求めよ．
(4)mを自然数とする．\frac{ama_{m+1}}{a_{m+2}}の値が数列{an}の項として現れるすべてのmを求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が0でない等差数列{an}において，初項から第n項までの和をSnとする．また，{a5}2+{a6}2={a7}2+{a8}2，S_{13}=13が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a5+a8=a6+a7であることを示せ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)Snを求めよ．
(4)mを自然数とする．\frac{ama_{m+1}}{a_{m+2}}の値が数列{an}の項として現れるすべてのmを求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が0でない等差数列{an}において，初項から第n項までの和をSnとする．また，{a5}2+{a6}2={a7}2+{a8}2，S_{13}=13が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a5+a8=a6+a7であることを示せ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)Snを求めよ．
(4)mを自然数とする．\frac{ama_{m+1}}{a_{m+2}}の値が数列{an}の項として現れるすべてのmを求めよ．
国立 三重大学 2013年 第5問正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに動くとする．nを正の整数として，Aから出発してn秒後にAに戻る経路の数をαn，Aから出発してn秒後にBに到達する経路の数をβnとする．このとき，Aから出発してn秒後にCに到達する経路の数も，Dに到達する経路の数もβnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただしα0=1，β0=0とする．
\begin・・・
国立 三重大学 2013年 第3問正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にA，B，C，Dにある確率を，それぞれpn,qn,rn,snとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)n≧1に対しqn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．ただし，p0=1,q0=0とする．・・・
国立 三重大学 2013年 第3問正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にAにある確率をpn，Bにある確率をqnとする．このとき，n秒後にCにある確率も，Dにある確率もqnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし，p0=1,q0=0とする．
(1)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．
(2)cn=pn-q_・・・
国立 群馬大学 2013年 第6問下図のように，1から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列A1，A2，A3，・・・がある．正三角形An(n=1,2,3,・・・)の右下隅にある碁石の番号をanとし，An中のすべての碁石の番号の和をSnとする．
（例a1=3,a2=8,a3=16,S2=4+5+6+7+8+9=39）
（プレビューでは図は省略します）
(1)anの一般項を求めよ．
(2)Snの一般項を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}\frac{1}{n5}Σ_{k=1}nk(Sk-3/2k)を，ある関数の定積・・・
国立 山口大学 2013年 第2問数列{an}が
a1=1/4,a_{n+1}=\frac{an}{4an+5}(n=1,2,3,・・・)
で定められるとき，次の問いに答えなさい．
(1)a2,a3,a4を求めなさい．
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき，数列{bn}は
b_{n+1}=5bn+4(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを証明しなさい．
(3)数列{an}の一般項を求めなさい．
国立 福井大学 2013年 第3問数列{an}が次の関係式を満たしている．
a1=-1,5a_{n+1}-4an=1(n=1,2,3,・・・)
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，log_{10}2=0.3010として計算してよい．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)Sn=Σ_{k=1}nakとおくとき，Snをnの式で表せ．
(3)n≧9のとき，Sn＞0となることを示せ．
