「一般項」について

　国立 信州大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)4人でじゃんけんを2回するとき，2回ともあいこになる確率を求めよ．
(2)次の関係式
a1=-1,a_{n+1}=2an(1-an)(n=1,2,3,・・・)
で定められる数列{an}は，1-2a_{n+1}=(1-2an)2を満たすことを示し，一般項anを求めよ．
(3)ベクトル0でない2つのベクトルベクトルa，ベクトルbについて，|ベクトルa|=2|ベクトルb|および|ベクトルa+2ベクトルb|=2|ベクトルa-ベクトルb|が成り立つとき，ベクトルaとベクトルbのなす角\t・・・

　国立 筑波大学 2011年 第4問

数列{an}を，
\begin{eqnarray}
&&a1=1,\nonumber\\
&&(n+3)a_{n+1}-nan=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{eqnarray}
によって定める．
(1)bn=n(n+1)(n+2)an(n=1,2,3,・・・)によって定まる数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)等式
p(n+1)(n+2)+qn(n+2)+rn(n+1)=bn(n=1,2,3,・・・)
が成り立つように，定数p,q,rの値を求めよ．
(3)Σ_{k=1}nakをnの式で表せ．

　国立 岩手大学 2011年 第3問

{an}は，初項a1=-1，公差dの等差数列で，{bn}は，初項b1=2011，公比rの等比数列とする．ただし，d≠0,r≠0とする．これらの数列が
anb_{n-1}+3bna_{n-1}-2b_{n-1}=0(n≧2)
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1){an}と{bn}の一般項を求めよ．
(2)|bn|＜|an|となる最小のnの値を求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第2問

数列{an}と{bn}を
a1=3,b1=3/2,a_{n+1}=bn,b_{n+1}=\frac{an+bn}{2}(n≧1)
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべてのn≧1に対してa_{n+1}+αb_{n+1}=β(an+αbn)が成り立つα,βの値の組をすべて求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)an=2となる自然数nの存在性を調べよ．

　国立 岩手大学 2011年 第3問

{an}は，初項a1=-1，公差dの等差数列で，{bn}は，初項b1=2011，公比rの等比数列とする．ただし，d≠0,r≠0とする．これらの数列が
anb_{n-1}+3bna_{n-1}-2b_{n-1}=0(n≧2)
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1){an}と{bn}の一般項を求めよ．
(2)|bn|＜|an|となる最小のnの値を求めよ．

　国立 三重大学 2011年 第2問

cを定数として数列{an}を次の条件によって定める．
a1=c+1,a_{n+1}=\frac{n}{n+1}an+1(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3,a4を求めよ．また一般項anの形を推定し，その推定が正しいことを証明せよ．
(2)c=324のとき，anの値が自然数となるようなnをすべて求めよ．

　国立 愛知教育大学 2011年 第3問

数列{an}を初項a1=1，公差が2の等差数列とし，数列{bn}は初項b1=1でb_{n+1}-bn=anを満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)数列{bn}の初項から第n項までの和Snを求めよ．
(3)4以上の自然数nに対してS_{n+1}＜2Snが成立することを証明せよ．

　国立 電気通信大学 2011年 第3問

初項がaで公比がrの等比数列を{an}とし，初項がbで公比がsの等比数列を{bn}とする．数列{xn}を
xn=an+bn(n=1,2,3,・・・)
で定義するとき，以下の問いに答えよ．
(1)x1x3-x22とx2x4-x32をそれぞれa,b,r,sの式で表し，因数分解せよ．
(2)x1x4-x2x3をa,b,r,sの式で表し，因数分解せよ．
以下では，r＜sとし，数列{xn}のはじめの4つの項が
x1=4,x2=7,x3=11,x4=13
となる場合を考える．
\beg・・・

　国立 帯広畜産大学 2011年 第1問

自然数nについて，{an}は初項a，公差dの等差数列であり，{bn}は初項b，公比rの等比数列である．数列{an}の一般項をanで表し，その初項から第n項までの和をSaとする．また，数列{bn}の一般項をbnで表し，その初項から第n項までの和をSbとする．次の各問に解答しなさい．
(1)d=2a,a≠0とする．
(i)dとnを用いてanを表しなさい．また，aとnを用いてSaを表しなさい．
(ii)不等式6an＜a_{n+1}+27dおよび・・・

　国立 宇都宮大学 2011年 第2問

数列{an}はa1=2,a2=2をみたすとする．{an}の階差数列を{bn}とし，{bn}の階差数列を{cn}とする．数列{cn}がc1=1をみたす公差3の等差数列であるとき，次の問いに答えよ．
(1)数列{cn}の一般項を求めよ．
(2)数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．