「一般項」について

　国立 大阪教育大学 2011年 第2問

一般項がan=27/10(2/3)^{n-1}で与えられる数列{an}の，初項から第n項までの和をbnと表すとき，次の問に答えよ．
(1)数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)楕円\frac{x2}{(43/2-bn)2}+\frac{y2}{(81/10+bn)2}=1の面積をSnで表すとき．Snが最大になる自然数nと，そのときのSnの値を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第4問

有理数rについて，次の2つの条件を考える．
(i)1，3，7のいずれかの数pと自然数mを用いてr=\frac{p}{2m}と表される．
(ii)r＜1
条件(i),(ii)をともに満たすような有理数rの全体を大きい方から順に並べてできる数列a1,a2,a3,・・・,an,・・・を考える．
(1)a1,a2,a3,a4を求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)Nを自然数とする．数列{an}の初項から・・・

　国立 室蘭工業大学 2011年 第3問

数列{an}が次の条件を満たすとする．
a1=1,a_{n+1}=1/2an+\frac{1}{3n}(n=1,2,3,・・・)
(1)bn=2nanとおくとき，b_{n+1}-bnをnを用いて表せ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}において，anは小数第1位から小数第n位までの数字が0で小数第(n+1)位から小数第2n位までの数字が9であり，小数第(2n+1)位以降の数字が0である実数とする．ただし，0＜an＜1(n=1,2,3,・・・)とする．また，数列{bn}を，bn=10nan(n=1,2,3,・・・)で定める．
(i)b1,b2,b3を求め，数列{bn}の一般項を求めよ．
(ii)sn=Σ_{k=1}nakとおく．snを求め・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第2問

数列{an},{bn}を次の関係式により定義する．
\begin{align}
&a1=3,b1=1,\nonumber\\
&a_{n+1}=\frac{3an+13bn}{2},b_{n+1}=\frac{an+3bn}{2}(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)数学的帰納法を用いて，an+bn,an-bnはともに正の偶数であることを証明せよ．
(2)cn=an+\sqrt{13}bn,dn=an-\sqrt{13}bnとおく．数列{cn},{dn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an},{bn}・・・

　国立 長崎大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関係式
a1=1,na_{n+1}-(n+1)an=1(n=1,2,・・・)
によって定義される数列{an}の一般項を求めたい．bn=\frac{an}{n}(n=1,2,・・・)とおいて数列{bn}の一般項を求めることにより，anを求めよ．
(2)x≠1のとき，等比数列の和の公式
Σ_{k=0}^{n-1}xk=\frac{xn-1}{x-1}
の両辺をxで微分せよ．その結果を利用して，Σ_{k=1}^{n-1}kxkを求めよ．
(3)p≠1のとき，関係式
c1=0,\fr・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2011年 第1問

三角形A0B0Cは辺A0B0の長さがa，∠A0=60°，∠B0=90°の直角三角形であり，三角形{A0}´{B0}´C´は辺{A0}´{B0}´の長さがa，∠{A0}´=45°，∠{B0}´=90°の直角三角形である．右図に示すように三角形A0B0Cの3つの辺上にそれぞれ点D1，A1，B1をとり，正方形B0D1・・・

　国立 東京海洋大学 2011年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
1&4\
4&1
\end{array})に対し，An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})，pn=\frac{an}{cn}(n=1,2,3,・・・)とおく．
(1)数学的帰納法を用いて，an=dnおよびbn=cnが成り立つことを示せ．
(2)p_{n+1}をpnを用いて表せ．
(3)qn=\frac{1}{pn-1}とおくとき，q_{n+1}をqnを用いて表せ．
(4)数列{pn}の一般項を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする．log_{10}(Sn+1)=nが成り立っているとき，一般項はan=[ア]・[イ]^{n-[ウ]}となる．
(2)方程式log_{x-3}(x3-8x2+20x-17)=3の解はx=[エ]である．

　私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第6問

数列{an}は，初項1，公差5/2の等差数列で，数列{bn}は，初項2，公差7/4の等差数列である．このとき，次の設問に答えよ．
(1)あるanとあるbmが同じ値をとるものを小さい順にc1,c2,c3,・・・とする．このとき，最初からの3項c1,c2,c3の値を求めよ．
(2)一般項cnをnの式で表せ．