「一般項」について

　私立 北海学園大学 2011年 第4問

a1=a2=1である数列{an}は，すべての自然数nに対してan≠0であり，かつxの2次方程式anx2-2a_{n+1}x+5a_{n+2}=0が重解をもつ．bn=\frac{a_{n+1}}{an}(n=1,2,3,・・・)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)bnとb_{n+1}との関係式を求めよ．
(2)数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　私立 立教大学 2011年 第3問

数列{an}は次のように定められている．初項a1=0であり，すべての自然数nに対して
a_{n+1}=-an+\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}
が成り立つ．このとき，次の問に答えよ．
(1)a3,a4を求めよ．
(2)cを定数としてbn=(-1)n(an+c)とおく．{bn}が等差数列になるためにはcをどのように定めればよいか．cの値を求めよ．
(3)数列{an}の一般項をnを用いて表せ．
(4)数列{an}の第2n項までの2乗の和S_{2n}={a1}2+{a2}2+・・・+{a_{2n}}2を求めよ．

　私立 関西学院大学 2011年 第1問

次の文章中の[]に適する式または数値を記入せよ．
(1)条件a1=-5/6，6a_{n+1}-3an+4=0によって定められる数列{an}について考える．この漸化式はa_{n+1}+[*]=[](an+[*])と変形できる．したがって，一般項はan=[]である．
(2)方程式(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=-24について，X=x2-xとおくと，Xの2次方程式[]=0を得る．その解はX=[**],[***]（ただし，[**]＜\kakko{*\as・・・

　私立 津田塾大学 2011年 第2問

p1=4，q1=-1であり，自然数nに対して{\begin{array}{l}
p_{n+1}=-pn-6qn\
q_{n+1}=pn+4qn
\end{array}.で定められた数列{pn}，{qn}を考える．
(1)すべての自然数nに対して等式p_{n+1}+aq_{n+1}=b(pn+aqn)が成り立つような実数a,bの組を求めよ．
(2)一般項pn,qnを求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする．log_{10}(Sn+1)=nが成り立っているとき，一般項はan=[ア]・[イ]^{n-[ウ]}となる．
(2)方程式log_{x-3}(x3-8x2+20x-17)=3の解はx=[エ]である．

　公立 首都大学東京 2011年 第4問

数列{an}が次の式によって与えられているとする．
an=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)・・・(1-\frac{1}{(n+1)2})
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4に対して，それぞれ2(n+1)anの値を求めなさい．
(2)anの一般項を推定し，推定した式がすべての自然数nに対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)an＞1/2+\frac{100}{n2}をみたす最小のnを求め・・・

　公立 高崎経済大学 2011年 第2問

数列{an}がa1=2,a_{n+1}−2an+ana_{n+1}=0を満たしている．以下の問に答えよ．
(1)すべての自然数nについてan＞0であることを示せ．
(2)bn=\frac{1}{an}とするとき，bnとb_{n+1}の関係を式で表せ．
(3)一般項anを求めよ．

　公立 岡山県立大学 2011年 第2問

数列{an}が，a1=2/3,a_{n+1}=\frac{2-an}{3-2an}(n=1,2,3,・・・)を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a2,a3を求めよ．
(2)一般項anを推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)a_{n+1}-an＜\frac{1}{5000}を満たす最小のnを求めよ．

　公立 高知工科大学 2011年 第4問

行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
-1&-4\\
4&7
\end{array}\biggr),E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)に対して，N=A-kEとおく．ただし，kは実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．
(1)N2=Oとなるように，kの値を定めよ．ただし，Oは零行列である．
(2)nを正の整数として，Anを求めよ．
(3)数列{an},{bn}が
a1=b1=1,a_{n+1}=-an-4bn,b_{n+1}=4an+7bn
で与えられるとき，一般項an,bnをそれぞれnを用いて・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，sn=Σ_{k=1}n\frac{k}{2k}とする．このとき数学的帰納法により，
sn=\frac{2^{n+1}-n-2}{2n}
であることを示せ．
(2)a1=0,a2=1とし，自然数nに対して，a_{n+2}-3a_{n+1}+2an=n+1を満たす数列{an}について以下の問いに答えよ．
\mon[(i)]bn=a_{n+1}-anとするとき，数列{bn}が満たす漸化式を求めよ．
\mon[(ii)]bnを(1)で与えたsnを用いて表せ．
\mon[(iii)]数列{an}の一般項anを求・・・