「一般項」について

　国立 山形大学 2010年 第1問

自然数全体から，偶数と3k(k　は自然数　)と表される数を取り出して，小さい方から順に並べたものを
a1,a2,a3,・・・,an,・・・
とする．この数列{an}について，次の問に答えよ．
(1)an=1000となるnを求めよ．
(2)an=3m(m　は自然数　)となるnをmを用いて表せ．
(3)一般項anを求めよ．
(4)第n項までの和をSnとする．自然数mに対して3m≦an＜3^{m+1}であるとき，Snをm,nを用いて表せ．

　国立 山形大学 2010年 第4問

数列{xn}が
x1=1,x_{n+1}=3xn+\frac{1}{2^{n+1}}(n=1,2,3,・・・)
によって定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)x2,x3を求めよ．
(2)an=\frac{xn}{3n}で定まる数列{an}は
a_{n+1}=an+\frac{1}{6^{n+1}}(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(3)数列{xn}の一般項を求めよ．
(4)\lim_{n→∞}(xn-3nc)=0となる定数cを求めよ．

　国立 茨城大学 2010年 第2問

pを0＜p＜1を満たす有理数の定数とし，関数f(x)をf(x)=|x|pと定める．以下の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)の概形を描け．
(2)aを0でない実数の定数とするとき，点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ．また，接線とx軸の交点のx座標を求めよ．
(3)数列{an}を次のように定める：a1=1とし，n≧2のときanを点(a_{n-1},f(a_{n-1}))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標とする．このとき一般項anをnとpを用いて表せ．
(4)(3)で求め・・・

　国立 大阪教育大学 2010年 第4問

点Pは数直線上の原点から出発して，「確率pで+1，確率1-pで+2」の移動を繰り返す．ただし0≦p≦1とする．このような移動を繰り返して自然数nの点に到達する確率をpnと表す．次の問に答えよ．
(1)p1,p2,p3をpを用いて表せ．
(2)pn,p_{n+1},p_{n+2}の間の関係式を求めよ．
(3)an=p_{n+1}-pn(n≧1)とおくとき，数列{an}が満たす漸化式を求めよ．
(4)pとnを用いて，一般項pnを表せ．
(5)数列{pn}の極限を調べよ．

　国立 室蘭工業大学 2010年 第3問

数列{an}は
a1=1/3,(1-a_{n+1})(1+2an)=1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．
(1)すべての正の整数nに対してan≧1/3であることを，数学的帰納法によって証明せよ．
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき，b_{n+1}をbnを用いて表せ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 帯広畜産大学 2010年 第1問

自然数nに対して，{an}は初項a，一般項anの数列であり，{bn}\\
は初項b，一般項bnの数列である．座標平面上の点Pn(an,bn)，\\
点P_{n+1}(a_{n+1},b_{n+1})と点Qn(a_{n+1},bn)の座標は数列{an}と\\
{bn}によって与えられる．また，点Pnと点P_{n+1}を通る直線の傾\\
きgnと△PnP_{n+1}Qnの面積hnは，それぞれgn=cbn,hn=dgnで定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，hnを一般項とする数・・・

　国立 浜松医科大学 2010年 第3問

座標平面上にP0(1,0)を取る．P0を通りy軸と平行な直線と曲線C:y=\frac{5x+3}{x+3}との交点をP1(x1,y1)とする．次に，P1を通りx軸に平行な直線と直線ℓ:y=xとの交点をP2(x2,y2)とする．さらに，P2を通りy軸と平行な直線とCとの交点をP3(x3,y3)とし，P3を通りx軸に平行な直線と直線ℓとの交点をP4(x4,y4)とする．以下この操作を続けて点列P5(x5,y5)，P6(x6,y6)，・・・，\t・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第7問

数列{an}は次の条件を満たす．
a1=-1,a2=1,a_{n+2}=5a_{n+1}-6an(n=1,2,3,・・・)
このとき次の問いに答えよ．
(1)a3,a4,a5を求めよ．
(2)a_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αan)を満たす実数α,βの組を全て求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第3問

a1=3,a2=4,a_{n+2}=4/3a_{n+1}-1/3an(n=1,2,・・・)で定義される数列{an}がある．
(1)n≧2のとき，a_{n+1}-an=c(an-a_{n-1})とa_{n+1}-1/3an=d(an-1/3a_{n-1})を満たす定数cとdの値を求めよ．
(2)n≧1のとき，a_{n+1}-anとa_{n+1}-1/3anを求めよ．
(3)数列{an}の一般項anと数列{an}の初項から第n項までの和Snを求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第4問

a1=3,a2=4,a_{n+2}=4/3a_{n+1}-1/3an(n=1,2,・・・)で定義される数列{an}がある．
(1)n≧2のとき，a_{n+1}-an=c(an-a_{n-1})とa_{n+1}-1/3an=d(an-1/3a_{n-1})を満たす定数cとdの値を求めよ．
(2)n≧1のとき，a_{n+1}-anとa_{n+1}-1/3anを求めよ．
(3)数列{an}の一般項anと数列{an}の初項から第n項までの和Snを求めよ．